四大定律
| 模式 | 公式 | 条件 |
|---|---|---|
| 消除量词 | $\forall xA(x)\equiv \bigwedge_{a\in D}A(a)$ $\exists xA(x)\equiv \bigvee_{a\in D}A(a)$ |
论域 $D$ 是有限集 |
| 量词否定 | $\neg QxF(x)\equiv (\neg Q)x\neg F(x)$ | |
| 量词分配 | $\forall x(A(x) \land B(x))\equiv \forall xA(x) \land \forall xB(x)$ $\exists x(A(x) \lor B(x))\equiv \exists xA(x) \lor \exists xB(x)$ |
$Q\in\left{\forall,\exists\right}$ $\oplus \in\left{\land,\lor\right}$ |
| 辖域扩缩 | $Qx(A(x)\oplus B)\equiv QxA(x) \oplus B$ $Q_{1}x_{1}A(x_{1})\oplus Q_{2}x_{2}B(x_{2})\equiv Q_{1}x_{1}Q_{2}x_{2}(A(x_{1})\oplus B(x_{2}))$ $Qx(A(x)\to B)\equiv (\neg Q)xA(x)\to B$ $Qx(B\to A(x))\equiv B\to QxA(x)$ |
$Q\in\left{\forall,\exists\right}$ $\oplus \in\left{\land,\lor\right}$ |
换序
若谓词参数之间互不影响，则可换序，否则不可换序 aka.
若 $$F(x_{1},\dots,x_{n})=F_{S}(F_{1}(x_{1}),\dots,F_{n}(x_{n}))$$
则 $\prod Q_{k} F(\dots)$ 中 $\prod Q_{k}$ 可以换序
示例
- 可换序
- $F(x,y)=G(x)\lor H(y)$
- $F(x,y)=G(x)\oplus H(y)$
- $F(x,y)=G(x)\to H(y)$
- 不可换序 = 原子多元谓词
- $F(x,y)=x\lor y$
- $F(x,y)=x<y$