已知
- $p\geq1$ 则 $$ \left(\int_{a}^{b} \left|f(x)+g(x)\right|^{p} , \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}} \le \left(\int_{a}^{b} \left|f(x)\right|^{p} , \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b} \left|g(x)\right|^{p} , \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}} $$
$p<1$ 反向
衍生形式
- Lp 空间范数 形式 $$\lVert f+g \rVert _{L^{p}} \leq \lVert f \rVert _{L^{p}} + \lVert g \rVert _{L^{p}}$$
证明
根据 $f(x)=x^{p}$ $(p>1)$ 的凸性 $$\int_{a}^{b}|f+g|^{p}=\int_{a}^{b} |t\cdot\frac{f}{t}+(1-t)\frac{g}{1-t}|^{p}\leq t^{1-p}\int_{a}^{b} |f|^{p}+(1-t)^{1-p}\int_{a}^{b} |g|^{p} $$ 取 $$ t=\frac{(\int_{a}^{b} |f|^{p})^{1/p} }{(\int_{a}^{b} |f|^{p})^{1/p}+(\int_{a}^{b} |g|^{p})^{1/p}} $$