已知
- $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$
- $p>1$
则 $$ \int_{a}^{b} \left|f(x)g(x)\right| , \mathrm{d}x \le \left(\int_{a}^{b} \left|f(x)\right|^{p} , \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}} \left(\int_{a}^{b} \left|g(x)\right|^{q} , \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{q}} $$
$p<1$ 反向
- Lp 空间范数 形式 $$\lVert fg \rVert _{L^{1}} \leq \lVert f \rVert _{L^{p}} \cdot\lVert g \rVert _{L^{q}}$$
引理 (Young 不等式) $ab\leq \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}$ 证明 根据 $f(x)=\ln x$ 的凸性 $$\ln ab=\frac{1}{p}\ln a^{p}+\frac{1}{q}\ln a^{q}\leq \ln(\frac{a^{p}}{p}+\frac{a^{q}}{q})$$
把定积分看做常数 $$\frac{|fg|}{{(\int_{a}^{b} |f|^{p})^{1/p} (\int_{a}^{b} |g|^{q})^{1/q}}}=\frac{|f|}{(\int_{a}^{b}|f|^{p})^{1/p}}\cdot\frac{|g|}{(\int_{a}^{b}|g|^{q})^{1/q}}\leq \frac{|f|^{p}}{p \int_{a}^{b}|f|^{p}}+\frac{|g|^{q}}{q\int_{a}^{b}|g|^{q}}$$ 两边同时积分 $$\frac{\int_{a}^{b} |fg|}{(\int_{a}^{b} |f|^{p})^{1/p} (\int_{a}^{b} |g|^{q})^{1/q}} \leq \frac{\int_{a}^{b} |f|^{p}}{p\int_{a}^{b} |f|^{p}}+\frac{\int_{a}^{b}|g|^{q}}{q\int_{a}^{b} |g|^{q}}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$
所以得证