🔗 数学分析中一类积分不等式的简洁证明

形式

$$ \int_{a}^{b} F(f’) , \mathrm{d}x \leq C\int_{a}^{b} F(f) , \mathrm{d}x $$ 通常 $F(f)=f^{2}$

解法

1. 找出最优函数 $\bar{f}$
   • 题目给出
   • 插值拟合
     • Lagrange 插值
     • Hermite 插值
   • 背景知识
     • Parseval 等式
2. 构造
   • $f=\varphi(x)\cdot \bar{f}$
   • $f’=\varphi’\cdot \bar{f}+\varphi\cdot \bar{f}'$
3. 不等式移到一边，带入 3. 中替换掉 $f$, $f’$ 证 $$\int_{a}^{b} F(f’(\varphi,\bar{f}))-F(f(\varphi,\bar{f})) , \mathrm{d}x \leq 0 $$
4. 展开+分部积分