| 积分名称 | 积分形式 | 值 | 证明思路 |
|---|---|---|---|
| $$\int_{0}^{1} (\ln x)^{n} , \mathrm{d}x $$ | $$(-1)^{n}n!$$ | ||
| Euler 积分 | $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x , \mathrm{d}x $$ | $$- \frac{\pi}{2}\ln 2$$ | $x=2t$ 后积分重现 |
| Froullani 积分 | $$\int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} , \mathrm{d}x $$ | $$(f(0)-f(+\infty))\cdot(\ln a-\ln b)$$ | 构造重积分 $a,b$ 视为第二元积分的上下界 |
| Dirichlet 积分 | $$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} , \mathrm{d}x $$ | $$\frac{\pi}{2}$$ | 乘因子 $e^{-xy}$ 构造重积分 |
| Euler-Poisson 积分 | $$\int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} , \mathrm{d}t $$ | $$\frac{\sqrt{ \pi }}{2}$$ | 自平方开根构造重积分 |
| Poisson 积分 | $$\int_{0}^{\pi} \ln \left( 1+r\cos\theta+r^{2} \right) , \mathrm{d}\theta $$ | $\left| r \right|<1$ 时 $=0$ $\left| r \right|>1$ 时 $=2\pi \ln \left| r \right|$ |
$I(r)=\frac{1}{2^{n}}I(r^{2^{n}})$ |
| Dirichlet 核积分 | $$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} , \mathrm{d}x $$ | $$\frac{\pi}{2}$$ | 先求 $I(0)$，再证$P(n+1)-P(n)=0$ |
| Fejer 核积分 | $$\int_{0}^{\pi} \left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)^{2}, \mathrm{d}x $$ | $$\frac{n\pi}{2}$$ | 分部积分+积化和差+Dirichlet 核积分 |