定义

$$ A=LU $$

其中

• $L$ 为下三角 (Lower) 矩阵
• $U$ 为上三角 (Upper) 矩阵

求分解

先写好可以确定的矩阵部分 $$ A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \ & 1 & \dots & 0\ & & \ddots & \vdots \ & & & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_{11} & \ 0 & U_{22} \ 0 & 0 & \ddots \ 0 & 0 & \dots & U_{nn} \end{bmatrix} $$ 然后对 $A$ 的每个 $A_{ij}$ 对应在矩阵相乘构成一个方程 保证每个方程是一元一次方程可以解开 $L$ 或 $U$ 中一个位置的空白

LDU 分解

对于已求的 $LU$ 分解 $$ U=DU' $$ 其中

• $D$ $\to$ 对角矩阵
  • $D_{ii}=U_{ii}$
  • $D_{\mathrm{else}}=0$
• $U’$ $\to$ 标准上三角矩阵
  • $U’_{ii}=1$
  • $U’{\mathrm{else}}=U{\mathrm{else}}$

于是 $$ A=LU=LDU' $$