可逆

对角线支配

必要不充分判定

矩阵 $A$ 满足 $\left| a_{i,i} \right| > \displaystyle\sum_{j\neq i} \left| a_{i,j} \right|$

行列式判定

充分必要判定

$\det A \neq 0$

IMT

已知 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵 则以下项等效

1. $A$ 可逆
2. $A$ 行等价于 $I_{n}$
3. $A$ 有 $n$ 个主元 (快速计算具体矩阵是否可逆)
4. $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 只有平凡解
5. $A$ 列线性无关
6. 线性变换 $\boldsymbol{x} \to A\boldsymbol{x}$ 是单射
7. 线性变换 $\boldsymbol{x}\to A\boldsymbol{x}$ 从 $\mathbb{R}^{n}$ 到 $\mathbb{R}^{n}$ 满射
8. 存在 $n\times n$ 矩阵 $C$ 使得 $CA=I$
9. 存在 $n\times n$ 矩阵 $D$ 使得 $AD=I$
10. $A^{T}$ 可逆
11. 秩零定理 & 秩
12. $A$ 有 $n$ 个非零特征值
13. $(\mathrm{Col}A)^{\perp}=\left{ \boldsymbol{0} \right}$
14. $(\mathrm{Nul}A)^{\perp}=\mathbb{R}^{n}$
15. $\mathrm{Row}A=\mathbb{R}^{n}$

求逆

高斯乔丹消元

$$ \begin{bmatrix} A & I \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} I & A^{-1} \end{bmatrix} $$

伴随矩阵

$$ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{adj},A $$

其中伴随矩阵

$$ \mathrm{adj},A= \begin{bmatrix} C_{ji} \end{bmatrix} $$

分块矩阵求逆

$$ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \ 0 & A_{22} \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \ 0 & A_{22}^{-1} \end{bmatrix} $$

运算

1. 积の逆 = 逆の倒序积 $$\left( \prod_{i=1}^{n} M_{i} \right)^{-1} = \prod_{i=1}^{n} M_{n-i}^{-1}$$