线性代数

二次型标准化

  1. 表示为 $$\begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix}S\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}$$ 其中 $S$ 是对称矩阵

  2. 对角化 $S=P\Lambda P^{-1}$

  3. 化为 $$(\begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix}P)\Lambda\left(\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}P^{-1}\right)$$

  4. 表示为 $$\begin{bmatrix}X & Y\end{bmatrix}\Lambda \begin{bmatrix}X\Y\end{bmatrix}$$

  5. 由于 $\Lambda$ 是对角矩阵，所以表达式无 $XY$ 项，化为标准型