线性代数

特征值

定义

已知 $n\times n$ 方阵 $A$

则

  • 特征向量 $\boldsymbol{x}$ :=
    • 非零向量
    • $\exists \lambda (A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x})$
  • 特征值 $\lambda$ :=
    • $\exists\boldsymbol{x} (\boldsymbol{x} \neq 0 \land A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x})$
    • aka $A\boldsymbol{x} = \lambda\boldsymbol{x}$ 或 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=0$ 有非零解
Warning

$\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0}$ !!!

计算

  1. 计算 $\det(A-\lambda I)$
  2. 令 $\det(A-\lambda I)=0$，解得特征值 $\lambda_{i}$
  3. 对每个特征值 $\lambda_{i}$，从 $(A-\lambda_{i} I)\boldsymbol{x}=0$ 解得特征向量 $\boldsymbol{x}$

性质

  1. 【常数线性换序+幂换序】满足运算换序

    • $\lambda(M+cI)=\lambda(M)+c$
    • $\lambda(M^{c})=[\lambda(M)]^{c}$
      • $\lambda(M^{-1})=\frac{1}{\lambda(M)}$
    • 标量乘 $\lambda(kM)=k\lambda(M)$
    • $\lambda(A+B)\neq\lambda(A)+\lambda(B)$

  2. 【谱映射】

    • $\lambda(f(A))=f(\lambda(A))$
    • $\lambda(A+B)\neq\lambda(A)+\lambda(B)$

  3. 矩阵自乘积 $k$ 次后 $A^{k}$

    • 特征值 $\lambda$ 变为 $\lambda^{k}$

    • 特征向量不变

    • $$A^{k}x=\lambda^{k}x$$

    自乘积性质の应用

    对任意向量 $\boldsymbol{a}$ 分解为特征向量の线性组合，再应用 $A^{k}x=\lambda^{k}x$ 可以快速计算 $A^{k}\boldsymbol{a}$

    当然也可用 对角化 求

  4. 【对角化】$n\times n$ 方阵有 $n$ 个不同特征值 $\implies$ 对应的特征向量组线性无关 $\Leftrightarrow$ 可对角化

    1. 特征值不同 $\Rightarrow$ 特征向量线性无关

  5. 【重数】

    1. 代数重数 $\mathrm{AM(\lambda)}$ := $\lambda$ 在 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=0$ 的重根数
    2. 几何重数 $GM(\lambda)$ := $\mathrm{dim},\mathrm{Eig(\lambda)}=\mathrm{dim},\mathrm{Nul}(A-\lambda I)$
    3. $\mathrm{AM}(\lambda)\leq \mathrm{GM}(\lambda)$ 当矩阵 对称 时取等
    4. 总体代数重数 = 总体几何重数 $\Leftrightarrow$ 可对角化
    5. $\bigwedge_{\lambda}$ 代数重数 = 几何重数 $\Leftarrow$ 矩阵对称 $\Leftrightarrow$ 可正交对角化

  6. 【秩】$r(A-\lambda I)=n-\mathrm{GM}(\lambda)$ 其中 $\mathrm{GM}(\lambda)$ 是 $\lambda$ 的几何重数 = $\mathrm{dim},\mathrm{Eig(\lambda)}$

  7. 【累和&累积】

    1. $\sum\lambda_{i}=\mathrm{Tr},A$
    2. $\prod\lambda_{i}=\det A$ ⭐️

  8. 三角矩阵的特征值在主对角线上

  9. 实矩阵的虚特征值和虚特征向量各自共轭