定义

关系 $:=$ 空集/元素全是有序对的集合

• 从 $A$ 到 $B$ 的二元关系 $:= \forall R \subset A\times B$
• $A$ 的二元关系 $:= \forall R \subset A\times A$
• 若 $\langle x,y \rangle \in R$，则 $xRy$

特殊关系

• 空关系 $\emptyset$
• 全域关系 $E_{A}:=A\times A$
• 恒等关系 $I_{A}:=\left{ \left< x,x \right> | x \in A \right}$
• 小于等于关系 $L_{A}:=\left{ \left< x,y \right>|x,y\in A,x\leq y \right}$
• 整除关系 $D_{A}:=\left{ \left< x,y \right> | x,y \in A, x|y \right}$
• 包含关系 $R_{\subset}:=\left{ \left< x,y \right> | x,y \in A, x \subset y \right}$

运算

• 右复合 $F \circ G := \left{ \left< x,y \right> | \left< x,t \right> \in G \land \left< t,y \right>\in F \right}$
  • 结合律 $(F \circ G) \circ H = F \circ (G\circ H)$
  • 类矩阵逆 $(F\circ G)^{-1}=G^{-1}\circ F^{-1}$
  • 并等分配
    • $F \circ (G \cup H) = (F \circ G) \cup (F \circ H)$
    • $(G \cup H) \circ F = (G \circ F) \cup (H \circ F)$
  • 交子分配
    • $F \circ (G \cap H) \subset (F \circ G) \cap (F \circ H)$
    • $(G \cap H) \circ F \subset (G \circ F) \cap (H \circ F)$

特殊性质

!关系性质