运算性质
约定所有变量均为全称量定
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交换律 $$x \circ y = y \circ x$$
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结合律 $$(x\circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$$
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幂等律 $$x \circ x = x$$
- 幂等元 := 满足 $a\circ a=a$ 的元素 $a$
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分配律 := 运算 $*$ 对 $\circ$
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左分配 $$x * (y\circ z) = (x * y) \circ (x * z) $$
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右分配 $$(y \circ z) * x = (y * x) \circ (z * x)$$
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可分配 = 左分配 $\land$ 右分配
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吸收律
- 已知 $*$ 和 $\circ$ 满足交换律
- $x\circ(x*y)=x$
- $x*(x\circ y )=x$
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消去律
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左消去 $$x\circ y = x \circ z \land x \neq \theta \implies y = z$$
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右消去 $$y\circ x = z \circ x \land x \neq \theta \implies y = z$$
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消去律 = 左消去 $\land$ 右消去
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特殊元素
- 单位元
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定义
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左单位元 $$\forall x (e_{l} \circ x = x)$$
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右单位元 $$\forall x (x \circ e_{r} = x)$$
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单位元 = 幺元 = 左单位元 $\land$ 右单位元
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性质
- 【唯一】运算 $\circ$ 有左右单位元 $e_{l}$ 和 $e_{r}$ 则单位元唯一 $e=e_{l}=e_{r}$
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- 零元
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定义
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左零元 $$\forall x (\theta_{l} \circ x = \theta_{l})$$
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右零元 $$\forall x (x \circ \theta_{r} = \theta_{r})$$
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零元 = 左零元 $\land$ 右零元
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性质
- 【唯一】运算 $\circ$ 有左右零元 $\theta_{l}$ 和 $\theta_{r}$ 则零元唯一 $\theta=\theta_{l}=\theta_{r}$
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- 逆元
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定义
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左逆元 $$\forall x (y_{l} \circ x = e)$$
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右逆元 $$\forall x (x \circ y_{r} = e)$$
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逆元 = 左逆元 $\land$ 右逆元
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可逆 := 有逆元
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- 可消元
- 定义
- $x$ 对 $\forall y,z$ 满足消去律 $\implies$ 可消
- 性质
- 【逆可消】存在逆元 $\implies$ 可消
- 定义