定义

已知

• 代数 $(A,\sum_{A})$
• 代数 $(B,\sum_{B})$

则同态 := 函数 $f:A \to B$ 且满足

$$ \forall \sigma \ \ f(\sigma_{A}(a_{1},\dots))=\sigma_{B}(f(a_{1})\dots) $$

其中 $\sigma_{A}$ 和 $\sigma_{B}$ 是运算 $\sigma$ 在两个代数中的解释

aka 映射与运算可换序

具体来说

• 零元运算 $$f(\sigma_{A})=\sigma_{B}$$

• 一元运算 $$f(\sigma_{A}(a))=\sigma_{B}(f(a))$$

• 二元运算 $$f(\sigma_{A}(a_{1},a_{2}))=\sigma_{B}(f(a_{1}), f(a_{2}))$$

同构

• 满同态 := 同态 $f$ 是满函数
• 单同态 := 同态 $f$ 是单函数
• 同构 := 同态 $f$ 是双函数

性质

1. 同态可以理解为"态射代数"，$f:A\to B$ 的结果代数 $\left( B,\sum_{B} \right)$ 的 $B$ 是陪域而不是像.
2. 满同态 保留 $A$ 的运算性质 $\to B$ ($B$ 是陪域不是像，但是满函数保证陪域=像，所以 $\forall A$ 上满足的性质也对 $\forall B$ 满足)
3. 单同态 保留 $B$ 的运算性质 $\to$ $A$
4. 同构 $\Leftrightarrow$ $A$ 和 $B$ 的运算性质相同