列维林德伯格定理

最根本/最弱の中心极限定理

已知 ${X_{n}}$

• 独立
• 符合同一分布
• 具有同一期望 $E(X_{i})=\mu$
• 具有同一方差 $D(X_{i})=\sigma^{2}$ 则

$$ \lim_{ n \to \infty } P \left{ \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n\mu}{\sqrt{ n }\sigma} \le x \right} = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }}\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^{2}}{2}} , \mathrm{d}t=\Phi(x) $$

aka

$$ \frac{\sum X_{i}-n\mu}{\sqrt{ n }\sigma} \sim N(0,1) $$

aka

$$ \bar{X} \sim N(\mu,\sigma^{2}/n) $$