已知
- $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$
- 连续可导
- 严格单增
- $g(x)$ 是 $f(x)$ 反函数 则 $$ ab\le \int_{0}^{a} f(x) , \mathrm{d}x +\int_{0}^{b} g(y) , \mathrm{d}y $$
几何证明
(%E4%B8%8A%E5%86%8C)%20(%E8%B0%A2%E6%83%A0%E6%B0%91,%20%E6%81%BD%E8%87%AA_%20(Z-Library).pdf.md#page366andrect57446363597andcolornote)
解析证明
$$ \begin{align} I & =\int_{0}^{a} f(x) , \mathrm{d}x +\int_{0}^{g(b)} x , \mathrm{d}f(x) \ & =\int_{0}^{a} f(x) , \mathrm{d}x + xf(x)\bigg|{0}^{g(b)}-\int{0}^{g(b)} f(x) , \mathrm{d}x \ & =\int_{g(b)}^{a} f(x) , \mathrm{d}x + bg(b) \ & \ge \mathrm{max}f(x) \int_{g(b)}^{a} , \mathrm{d}x +bg(b) \ & = b(a-g(b))+bg(b) \ & = ab \end{align} $$