🔗【知乎】 Parseval恒等式、Wirtinger不等式、Poincaré不等式、等周不等式
已知
- $f(-L)=f(L)$
- $\int_{-L}^{L} f(x) , \mathrm{d}x = 0$
则
$$
\int_{-L}^{L} f^{2}(x) , \mathrm{d}x \le \frac{L^{2}}{\pi^{2}}\int_{-L}^{L} f’^{2}(x) , \mathrm{d}x
$$
等号成立当且仅当 $f(x)=a\sin \frac{\pi}{L}x+b\cos \frac{\pi}{L}x$
衍生形式
- 任意区间 $(a,b)$ 已知
- $f(a)=f(b)$
- $\int_{a}^{b} f(x) , \mathrm{d}x=0$
则 $$\int_{a}^{b} f^{2} , \mathrm{d}x \leq \frac{(b-a)^{2}}{4\pi^{2}}\int_{a}^{b} f’^{2} , \mathrm{d}x $$
证明