🔗【知乎】 Parseval恒等式、Wirtinger不等式、Poincaré不等式、等周不等式
已知
- $f(0)=f(L)=0$
则
$$
\int_{0}^{L} f^{2}(x) , \mathrm{d}x \leq \frac{L^{2}}{\pi^{2}}\int_{0}^{L} f’^{2}(x) , \mathrm{d}x
$$
等号成立当且仅当 $f(x)=c\sin \frac{\pi}{L}x$
衍生形式
- 任意区间 $(a,b)$ 已知
- $f(a)=f(b)=0$
则 $$\int_{a}^{b} f^{2} , \mathrm{d}x \leq \frac{(b-a)^{2}}{\pi^{2}}\int_{a}^{b} f’^{2} , \mathrm{d}x $$
证明
奇延拓 + Wirtinger 不等式 の证明