线性单端零点
已知
- $f(a)=0$
则
$$
\int_{a}^{b} \left|f(x)f’(x)\right| , \mathrm{d}x \le \frac{b-a}{2}\int_{a}^{b} \left[f’(x)\right]^{2} , \mathrm{d}x
$$
证明
核心构造函数 $h(x)=\int_{a}^{x} \left|f’(t)\right| , \mathrm{d}t$ 则
- $h(x)\ge\left|\int_{a}^{x} f’(t) , \mathrm{d}t\right|=f(x)$
- $h’(x)=\left|f’(x)\right|$
则
$$
\begin{align}
\mathrm{LHS} & \le \int_{a}^{b} h(x)h’(x) , \mathrm{d}x \
& = \frac{1}{2}[h(x)]^{2}\bigg|{a}^{b} \
& =\frac{1}{2}[h(b)]^{2} \
& =\frac{1}{2}\left[\int{a}^{b} h’(x) , \mathrm{d}x \right]^{2} \
& \le \frac{1}{2}\int_{a}^{b} 1 , \mathrm{d}x \int_{a}^{b} [h’(x)]^{2} , \mathrm{d}x & (Cachy-Schwarz) \
& = \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b} [f’(x)]^{2} , \mathrm{d}x
\end{align}
$$
线性双端零点
已知
- $f(a)=f(b)=0$
则
$$
\int_{a}^{b} \left|f \cdot f’\right| , \mathrm{d}x \le \frac{b-a}{4} \int_{a}^{b} \left[f’\right]^{2} , \mathrm{d}x
$$
证明
- 对 $[a,\frac{a+b}{2}]$ 和 $-[\frac{a+b}{2}, b]$ 使用 线性单端零点 结论
- 将两个不等式相加得证