已知
- $f(x)$ 有界
- $p(x)$ 满足 $\int_{a}^{b} p(x) , \mathrm{d}x>0$
- $\varphi(x)$ 在 $f(x)$ 值域下凸 则 $$ \varphi\left( \frac{\int_{a}^{b} p(x)f(x) , \mathrm{d}x }{\int_{a}^{b} p(x) , \mathrm{d}x } \right) \le \frac{\int_{a}^{b} p(x)\varphi(f(x)) , \mathrm{d}x }{\int_{a}^{b} p(x) , \mathrm{d}x } $$
($\varphi$ 上凸则反向)
具体形式
- $\exp \int_{a}^{b} p(x)\ln f(x) , \mathrm{d}x \le \int_{a}^{b} p(x)f(x) , \mathrm{d}x \le \ln \int_{a}^{b} p(x)\exp f(x) , \mathrm{d}x$
- $\int_{0}^{1} f(x^{n}) , \mathrm{d}x\le f(\frac{1}{1+n})$
证明
整体思路：泰勒展开，根据凸性放缩掉 $f’’$ 项