已知
- $f(x)$ 是 $(a,b)$ 上的下凸函数
- $\forall(x_{1},x_{2})\subset(a,b)$
则
$$ f\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right)\leq \frac{\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(t) , \mathrm{d}t}{(x_{2}-x_{1})}\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2} $$
证明
- 根据凸性得到 $f’’(x)>0$ 或 $f’’(x)<0$
- 泰勒展开
- 左边 $x$ 对 $\frac{a+b}{2}$ 展开
- 右边 $a$ 对 $x$ 展开
- 放缩掉 $f’’$ 项得到不等式
- 两边对 $[a,b]$ 积分