线性代数

秩

定义

行向量组の秩 = 行秩 列向量组の秩 = 列秩

记作 $r(A)$

向量组の秩

已知向量组 $(\vec{a_1},\dots,\vec{a_n})$

其部分组满足：

  • 线性无关
  • 线性组合能表示原向量组任意向量

则改部分组叫做极大线性无关部分组

极大线性无关部分组の秩 = 原向量组の秩

性质

  1. 初等线性变换不改变秩
  2. 行秩 = 列秩

放缩性质

约定 $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ 且 $B \in \mathbb{R}^{n\times p}$

  1. 【积】 $r(A)+r(B)-n\leq r(AB) \le \min \left{ r(A), r(B) \right}$
    1. 上界：子空间
    2. 下界：Sylvester 不等式
  2. 【和】$r(A+B)\leq r(A)+r(B)$
    1. 维数公式 $\mathrm{dim}(U+V)=\mathrm{dim}U+\mathrm{dim}V-\mathrm{dim}(U\cap V)$