正定矩阵

特征值全为正的对称矩阵

判定

下面五个判定等价，满足一个则满足全部

  1. 【能量级】任意向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 满足 $$\boldsymbol{\alpha}^{T}S\boldsymbol{\alpha}>0$$ (不易计算，适合理论推导)
  2. 【主元】所有主元为正 ⭐ (最适合计算)
    1. 避免行交换
    2. 避免本行乘系数，保证本行消元时本行系数为 $1$
  3. 【顺序主子式】各级顺序主子式为正 (对特征值计算快)
  4. 【特征值】所有特征值为正 (最难算)
  5. 【满秩平方】$S=A^{2}=A^{T}A$ 且 $A$ 满秩 (适用于对称乘积结构)
  6. 【二阶】 $a>0$ 且 $ac-b^{2}>0$

性质

  1. 【线性】 若
    • $S$, $T$ 都是对称正定矩阵 则
    • $S+T$ 也是对称正定矩阵