已知矩阵 $A$
- 特征向量矩阵 $X$ := $\begin{bmatrix}\boldsymbol{x}{1} & \boldsymbol{x}{2} & \dots & \boldsymbol{x}_{n} \end{bmatrix}$ (用 Ax等于b的完整解 的方法标准解)
- 特征值矩阵 $\Lambda$ := $\begin{bmatrix}\lambda_{1} & 0 & \dots & 0 \ 0 & \lambda_{2} & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & \lambda_{n}\end{bmatrix}$
则
-
$$\Lambda=X^{-1}AX$$
-
$$A=X\Lambda X^{-1}$$
可对角性 vs. 可逆性
| 性质 | 关注对象 | 检验对象 |
|---|---|---|
| 可对角化 | 特征向量矩阵 $X$ の可逆性 | 特征向量组线性无关 |
| 可逆性 | 原矩阵の可逆性 | 特征值无 $0$ |
矩阵可对角化 & 矩阵可逆 互不蕴含！
特征值与可对角化
$$特征值无重复 \implies n个特征向量且线性无关 \equiv 可对角化$$
反之不行！