已知矩阵 $A$
- 特征向量矩阵 $X$ := $\begin{bmatrix}\boldsymbol{x}{1} & \boldsymbol{x}{2} & \dots & \boldsymbol{x}_{n} \end{bmatrix}$ (需要标准化)
- 特征值矩阵 $\Lambda$ := $\begin{bmatrix}\lambda_{1} & 0 & \dots & 0 \ 0 & \lambda_{2} & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & \lambda_{n}\end{bmatrix}$ 则
- $$\Lambda=X^{-1}AX$$
- $$A=X\Lambda X^{-1}$$
记忆
$$AX=X\Lambda$$
重复特征值 & 可对角性
无重复特征值的矩阵，特征向量线性独立，一定可被对角化
可对角性 vs. 可逆性
| 性质 | 关注对象 | 检验对象 |
|---|---|---|
| 可对角性 | 特征向量矩阵 $X$ の可逆性 | 特征值无重复 |
| 可逆性 | 原矩阵の可逆性 | 特征值无 $0$ |