二项式定理

$$ (x+y)^{n}=\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}y^{n-k} $$

帕斯卡递推式

$$ \binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} $$

广义递推式

$$ r\binom{n}{r}=(n-r+1)\binom{n}{r-1} $$

$$ r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{k-1} $$

上下标求和式

上标求和式

$$ \sum_{k=0}^{n} \binom{k}{m}=\binom{0}{m}+\binom{1}{m} + \dots + \binom{n}{m} =\binom{n+1}{m+1}
$$

下标求和式

$$ \sum_{k=0}^{r} \binom{m+k}{k}=\binom{m}{0} +\binom{m+1}{1} + \dots+\binom{m+r}{r}=\binom{m+r+1}{r}
$$

乘积化简式

$$ \binom{n}{m} \binom{m}{k} =\binom{n}{m} \binom{n-k}{m-k} $$

朱范等式

$$ \sum_{k=0}^{r} \binom{m}{r-k} \binom{n}{k} = \binom{m+n}{r} $$