定义

1. 群 :=

   1. 二元运算满足结合律
   2. 有单位元 $e$
   3. 任意元素 $x \in G$ 有逆元 $x^{-1}\in G$

2. 交换群 = 阿贝尔群 :=

   1. 群
   2. 二元运算满足交换律

3. 群の阶 $\lvert G \rvert$ := 元素个数

4. 群の核 $\mathrm{ker}f$ := 单位元 $e’$ 的原像集 $$f^{-1}({e’})={x \in G|f(x)=e’}$$

5. 子群 := $H\subset G$ $\land$ $H$ 对 $\sum_{G}$ 封闭

6. 陪集

   1. $H$ 的左陪集 := $aH={ah|h\in G}$
   2. $H$ 的右陪集 := $Ha={ha|h\in G}$

7. 正规子群 $H$ := $H$ 是 $G$ 子群 $\land$ $\forall g\in G(gH=Hg)$

性质

1. 【单位】单位元唯一
2. 【可消】群の二元运算可消
3. 【子群判定定理 1】$H\subset G$ 是 $G$ 子群 $\Leftrightarrow$
   1. $a,b\in H \Rightarrow ab\in H$
   2. $a\in H \Rightarrow a^{-1}\in H$
4. 【子群判定定理 2】$H\subset G$ 是 $G$ 子群 $\Leftrightarrow$ $a,b\in H \Rightarrow ab^{-1}\in H$