离散数学

同态基本定理

核

已知

  • 代数 $\left( A,\sum_{A} \right)$
  • 代数 $\left( B,\sum_B \right)$
  • 同态 $f:\left( A,\sum_{A} \right)\to\left( B,\sum_{B} \right)$

则核 $\mathrm{ker}f$ := 同余关系 $\left{(a,a’)|f(a)=f(a’)\right}$

同态基本定理

已知

  • 同态 $f:\left( A,\sum_{A} \right)\to\left( B,\sum_{B} \right)$

则 $$\left( A/\mathrm{ker}f, \sum_{A/\mathrm{ker}f} \right) \simeq \left( f(A),\sum_{f(A)} \right)$$

aka $$A/\mathrm{ker}f \simeq f(A)$$

模 6 代数例子

定义

  • $\left( A,\sum_{A} \right)=(\mathbb{Z},0,+,-)$
  • $f(n):= n ,\mathrm{mod},6$

则

  1. 商代数 $A/\mathrm{ker}f=({[0]{R},[1]{R},\dots,[5]{R}},[0]{R},+,-)$
  2. 代数由商集构成，显然
  3. 基调 $0_{A/\mathrm{ker}f}=[0_{A}]{R}=[0]{R}$
  4. 基调 $+{A/\mathrm{ker}f}([a]{R},[b]{R})=[+{A}(a,b)]{R}$ 也就是 $[1]{\mathrm{mod}6}+[2]{\mathrm{mod}6}=[1+2]{\mathrm{mod}6}$
  5. 态射代数 $f(A)=({0,1,\dots,5},0,+,-)$

明显可以看出二者同构