Stolz 定理

0/0 型

已知

无穷小量 $\left{ a_{n} \right}$ 严格单减
无穷小量 $\left{ b_{n} \right}$
$$\lim_{ n \to \infty } \frac{b_{n+1}-b_{n}}{a_{n+1}-a_{n}}=l$$ 其中 $l=\mathrm{const}$ 或者 $l=\pm \infty$ 则 $$ \lim_{ n \to \infty } \frac{b_{n}}{a_{n}} = l $$

已知

无穷大量 $\left{ a_{n} \right}$ 严格单增
任意数列 $\left{ b_{n} \right}$
$$\lim_{ n \to \infty } \frac{b_{n+1}-b_{n}}{a_{n+1}-a_{n}}=l$$ 其中 $l=\mathrm{const}$ 或者 $l=\pm \infty$

记忆方式

Stolz 定理可以理解为离散形式的 $\frac{0}{0}$ / $\frac{\infty}{\infty}$ 型洛必达法则

即在 $\frac{0}{0}$ / $\frac{\infty}{\infty}$ 时 $$\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{\Delta a_{{n}}}{\Delta b_{n}}$$