定义

周期函数

若 $f(x)$ 是周期为 $2l$ 的周期函数 则 $$ f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos \frac{\pi}{l}nx + b_{n}\sin \frac{\pi}{l}nx\right) $$ 其中傅里叶系数 $$ \left{ \begin{align} a_{n} & =\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos \frac{\pi}{l}nx , \mathrm{d}x \ b_{n} & =\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin \frac{\pi}{l}nx , \mathrm{d}x \end{align} \right. $$

有穷区间函数

经过 延拓 得到周期函数，再由 周期函数 の傅里叶系数定义求展开

延拓

周期延拓

$$ F(x)=f(x-2kl) $$ 分段定义在每个 $2kl-l\leq x<2kl+l$

奇延拓

原函数 $f(x)$ 定义在 $[0,l]$ $$ F_{\mathrm{odd}}(x)=\left{\begin{align} & f(x), & 0 < x \le l \ & 0, & x = 0 \ & -f(-x), & -l \le x < 0 \end{align}\right. $$ 其傅里叶级数一定为 三角级数 > 正弦级数

偶延拓

原函数 $f(x)$ 定义在 $[0,l]$ $$ F_{\mathrm{even}}(x)=\left{\begin{align} & f(x), & 0 \le x \le l \ & f(-x), & -l \le x < 0 \end{align}\right. $$ 其傅里叶级数一定为 三角级数 > 余弦级数

半周期延拓

原函数 $f(x)$ 定义在 $[0,l]$ 上 $$ F(x) = f(x-kl) $$ 分段定义在每个 $kl \le x < (k+1)l$ 上

审敛

1. 【Dirichlet 定理】已知函数 $f(x)$
   • 周期 $2\pi$
   • 在区间 $[-\pi,\pi]$ 上满足 Dirichlet 条件 i.e.
     • 分段连续
     • 分段单调 则$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上逐点收敛到 $$S(x)=\left{\begin{align} & f(x), & 连续点\ & \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}, & 间断点\end{align}\right.$$
2. 已知函数 $f(x)$
   • 周期 $2\pi$
   • 在区间 $[-\pi,\pi]$ 上分段可微 则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上逐点收敛到 $$S(x)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$$

和函数

和函数应由 审敛 中的 Dirichlet 定理/分段可微审敛中的 $S(x)$ 求出