定义
每项都 $> 0$ $$ \forall k, a_k>0 $$
审敛
单调有界审敛
由于通项恒大于 $0$ ，所以 $S_n$ 单调递增
所以如果 $S_n$ 有界，则级数收敛
比较审敛
已知正项级数 $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ 和 $\sum_{i=1}^{\infty}v_i$ 且从有限项开始，$u_i \le v_i$
- 若 $u_i$ 发散，则 $v_i$ 发散
- 若 $v_i$ 收敛，则 $u_i$ 收敛
牢记常见比较级数的收敛速度： $$ \ln n\ll n^{\varepsilon}\ll a^{n}\ll n!\ll n^{n} $$ 其中 $a>1$, $\varepsilon>0$
极限比较审敛
已知正项级数 $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ 和 $\sum_{i=1}^{\infty}v_i$
记 $$A=\lim_{ i \to \infty }\frac{u_i}{v_i}$$
| $A$ | 敛散性关系 |
|---|---|
| $A=+\infty$ | 若 $\sum_{i=1}^{\infty}v_i$ 发散，则 $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ 也发散 |
| $A=0$ | 若 $\sum_{i=1}^{\infty}v_i$ 收敛，则 $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ 也收敛 |
| $0<A<+\infty$ | $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ 和 $\sum_{i=1}^{\infty}v_i$ 同敛 |
特殊比较审敛
以
- 几何级数
- $p$ 级数
- $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln ^{p}n}$ 为比较级数の比较审敛 通过 $n$ 和 $n+1$ 项相消可以得到形式上只与本级数相关的审敛法 但本质上还是比较审敛 这类审敛的一般形式是 Kummer 审敛
Kummer 审敛
已知正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}$ 其中 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{b_{n}}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{c_{n}}$ 发散 记 $$ \rho_{b}=\lim_{ n \to \infty } \left( b_{n} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} - b_{n+1} \right) $$ $$ \rho_{c}=\lim_{ n \to \infty } \left( c_{n+1} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} - c_{n} \right) $$
| $\rho_{b}$ | $\rho_{c}$ | 敛散性 |
|---|---|---|
| $\rho_{b} \geq \mathrm{const} >0$ | $\rho_{c}\leq 0$ | 收敛 |
| $\rho_{b} \leq 0$ | $\rho_{c}\geq \mathrm{const}>0$ | 发散 |
Kummer 审敛衍生
| 审敛法 | 辅助级数 | 比较级数 | 计算量 | 敛散性 |
|---|---|---|---|---|
| Cauchy 根值审敛 | 几何级数 | $$\rho=\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ a_{n} }$$ | $\rho<1$ 收敛 $\rho>1$ 发散 |
|
| dAlembert 比值审敛 | $c_{n}=1$ | 几何级数 | $$r_{\mathrm{dAlembert}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{a_{n+1}}$$ | $r>1$ 收敛 $r<1$ 发散 |
| Rabee 审敛 | $c_{n}=n$ | $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$$ | $$r_{\mathrm{Rabbe}}=\lim_{ n \to \infty } n\left( r_{\mathrm{dAlembert}} - 1 \right)$$ | $r>1$ 收敛 $r<1$ 发散 |
| Betrand 审敛 | $c_{n}=n\ln n$ | $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln ^{p}n}$$ | $$r_{\mathrm{Betrand}}=\lim_{ n \to \infty } \ln n\left( r_{\mathrm{Rabee}} - 1 \right) $$ | $r>1$ 收敛 $r<1$ 发散 |
| Gauss 审敛 | $$\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=1+\frac{\mu}{n}+o\left( \frac{1}{n^{1+\varepsilon}} \right)$$ | $\mu>1$ 收敛 $\mu\leq 1$ 发散 |
比值审敛 & 根号审敛 在 $\rho=1$ 时失效，无法判断敛散性
失效案例：调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
特殊审敛
Cauchy 积分审敛
已知正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$
存在函数 $f(x)$ 满足：
- 在 $[1,+\infty)$ 上
- 单调递减
- 非负
- 连续
- $f(n)=u_{n}$
则
- 正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$
- 反常积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) , dx$ 敛散性相同
Cauchy 凝聚审敛
正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 与其凝聚级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n}u_{2^{n}} = u_{1} + 2u_{2}+4u_{4}+\dots+2^{n}u_{2^{n}}+\dots $$ 同敛