三角恒等式
线性正弦因子收敛
已知级数 $\left{ a_{n} \right}$
- 单调递减
- 趋近于 $0$
- $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 发散
则当 $x \neq k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ 时
- $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\sin nx$ 条件收敛
证明思路
一般项由 Dirichlet 审敛一定收敛
绝对项用 $\left| a_{n}\sin nx\right| \geq a_{n} \sin ^{2}nx=\frac{1}{2}(a_{n} - a_{n}\cos2nx)$ 其中 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos2nx$ 收敛而 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 发散，故绝对项发散
综上原级数条件收敛
三角偏移与交错互化
$$ \sin(\varphi+n\pi)=(-1)^{n}\sin \varphi $$
例子
- $$\sum_{n=1}^{\infty} \sin(\pi \sqrt{ n^{2} + 1 })=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\sin[\pi(\sqrt{ n^{2}+1 }-n)]$$