函数序列

1. 把函数序列看做二元函数 $f(n,x)$
2. 求极限函数 $f(\infty,x)=\lim_{ n \to \infty }f(n,x)$
3. 找间断点，满足以下相互等价条件
   1. 【本质】极限不存在
   2. 【找点】$\lim_{ x \to x_{0} }\lim_{ n \to \infty }f(n,x)\neq \lim_{ n \to \infty }\lim_{ x \to x_{0} }f(n,x)$ 相当于 3.3 找路径 $x=x(n)$ 时取两个折线路径进行必要性探路
   3. 【证明】$\lim_{ x = x(n),n\to \infty,x\to x_{0} }f(n,x)$ 不定
4. 断点在 $D$ 位置
   • 在区间内/区间边界 (包括开区间边界) $\Rightarrow$ 证不一致收敛
     1. 构造点列 (同 3.3)
   • 不在区间内 $\Rightarrow$ 证一致收敛
     1. 夹逼定理

函数项级数

1. 能求部分和序列封闭形式 $\Rightarrow$ 同 函数序列
2. 不能求部分和序列封闭形式
   • 证一致收敛
     1. $\exists N=N(\varepsilon)$
     2. 强级数审敛 (比较审敛)
     3. Dirichlet
     4. Abel
   • 证不一致收敛
     1. 通项不收敛于 $0$
     2. 余项不收敛于 $0$
     3. 部分和函数不一致收敛
     4. 柯西审敛

广义积分

• 证一致收敛
  1. $\exists X=X(\varepsilon)$ 或者 $\exists\delta=\delta(\varepsilon)$
  2. 强级数
  3. Dirichlet
  4. Abel
• 证不一致收敛
  1. 找 $x_{n}\to \mathrm{edge}$ 使得积分不收敛
  2. 【柯西审敛】$\exists l$ 使得 $\forall N$ $\exists A>N,y_{0}\in Y$ 有 $$\left|\int_{A}^{+\infty} f(x,y_{0}) , \mathrm{d}x \right| > l$$
  3. 【余项不收敛于 $0$】$\forall A$ 存在 $y_{0}\in Y$ 使得 $$\lim_{ y \to y_{0} } \int_{A}^{+\infty} f(x,y) , \mathrm{d}x = k \neq 0$$