四大原则

1. 忽略非零常数
2. 瑕点 $\Rightarrow$ 极限趋近 (洛+泰+…)
3. 无穷 $\Rightarrow$ 极限趋近 (抓大头)
4. 拆区间函数同号时，同敛性质应参考正项级数

五大基准广义积分

1. 无穷 $p$ 积分 $$\int_{a}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} , \mathrm{d}x $$

   • $p>1$ $\Rightarrow$ 收敛
   • $p\leq1$ $\Rightarrow$ 发散

2. 瑕点 $p$ 积分 $$\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} , \mathrm{d}x $$

   • $p<1$ $\Rightarrow$ 收敛
   • $p\geq1$ $\Rightarrow$ 发散

3. 无穷二阶 $p$ 积分 $$\int_{a}^{\infty} \frac{1}{x^{p}\ln ^{q}x} , \mathrm{d}x $$

   • $p>1$ $\Rightarrow$ 收敛
   • $p<1$ $\Rightarrow$ 发散
   • $p=1$
     • $q>1$ $\Rightarrow$ 收敛
     • $q\leq 1$ $\Rightarrow$ 发散

4. 瑕点二阶 $p$ 积分 $$\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}\ln ^{q}(x-a)} , \mathrm{d}x $$

   • $p<1$ $\Rightarrow$ 收敛
   • $p>1$ $\Rightarrow$ 发散
   • $p=1$
     • $q<1$ $\Rightarrow$ 收敛
     • $q\geq 1$ $\Rightarrow$ 发散

5. 指数比较积分 $$\int_{0}^{\infty} x^{k}e^{-\lambda x} , \mathrm{d}x $$

   • $\lambda>0$ $\Rightarrow$ 收敛
   • $\lambda\leq 0$ $\Rightarrow$ 发散