已知

• 曲面 $S$
  • 封闭
  • 无奇点
• 空间 $\Omega$ 的边界是 $S$

结论

朴素形式

$$ {\subset!\supset} \mathllap{\iint}{S} P,dy,dz+Q,dz,dx+R,dx,dy = \iiint{\Omega}\left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) ,dV $$

散度形式

$$ {\subset!\supset} \mathllap{\iint}{S}\vec{F},d\vec{S}=\iiint{\Omega} \mathrm{div},\vec{F},dV $$

证明

任选一维，以 $z$/$R$ 方向为例

对于该维，将闭合曲面分割成形如下图的形式，由此定义出 $S$，$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，$D$

于是 $$ \begin{align} {\subset!\supset} \mathllap{\iint}{S}R,dx,dy & =\iint{S_{1}+S_{2}+S_{3}}R,dx,dy \ & =\iint_{S_{1}}R,dx,dy+\iint_{S_{2}}R,dx,dy+\iint_{S_{3}}R,dx,dy \ & =\iint_{D}\left( R_{S_{1}}-R_{S_{2}} \right),dx,dy + 0\ & =\iint_{D}dR,dx,dy \ & = \int dx,dy, \int_{S_{2}}^{S_{1}} \frac{\partial R}{\partial z} , dz \ & =\iint_{D} \frac{\partial R}{\partial z},dV \end{align} $$ 其他两维同理，三维相加即为高斯公式