第一型曲面积分
特征
类似 曲线积分 > 第一型曲线积分 ：
- 无向
- 具有保守性
形式
$$ \iint_{S}f(x,y,z),dS $$
计算
隐函数型
已知 $$ z=z(x,y) $$ 则 $$ dS=\sqrt{ 1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2} },d\delta $$ 即 $$ \iint {S}f(x,y,z) , dS=\iint{D}f(x,y,z(x,y))\cdot\sqrt{ 1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2} },d\delta $$ 其中 $D$ 显然是曲面在平面 $xOy$ 的投影
参数型
已知 $$ \left{ \begin{align} x & =x(u,v) \ y & =y(u,v) \ z & =z(u,v) \end{align} \right. $$ 则同 曲面面积 令 $$ \left{ \begin{align} E & =x_{u}^{2}+y_{u}^{2}+z_{u}^{2} \ \ F & =x_{u}x_{v}+y_{u}y_{v}+z_{u}z_{v}\ \ G & =x_{v}^{2}+y_{v}^{2}+z_{v}^{2} \end{align} \right. $$ 有 $$ dS=\sqrt{ EG-F^{2} },du,dv $$ 即 $$ \iint {S}f(x,y,z) , dS = \iint{D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\cdot \sqrt{ EG-F^{2} },du,dv $$
第二型曲面积分
特征
类似 曲线积分 > 第二型曲线积分 ：
- 有向
- 不一定具有保守性
形式
向量型
$$ \iint_{S}\vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{n}(x,y,z),dS $$ 或者 $$ \iint_{S}\vec{F}(x,y,z),d\vec{S} $$ 其中 $\vec{n}$ 是 $dS$ 的单位法向量
可以将第二型曲面积分结合流量记忆
这里 $\vec{v}$ 就是 $\vec{F}$
分拆型
同样还可以类似 曲线积分 > 第二型曲线积分 把向量函数拆成正常函数： $$ \iint {S}\vec{F}\cdot \vec{n},dS=\iint{S}(P\cdot \cos\alpha+Q\cdot \cos\beta+R\cdot \cos\gamma),dS $$ (因为高维第二性曲线积分物理意义不强，所以这里只写三维的第二型曲线积分拆分)
而 $\cos\gamma,dS$ 明显具有几何意义，即 $dS$ 在平面 $xOy$ 上的有向投影(可正可负) 故分拆型第二性曲线积分可以进一步表达成： $$ \iint_{S}P,dy,dz+Q,dx,dz+R,dx,dy $$
计算
转为第一型曲面积分
根据 分拆型 将第二型曲面积分分拆成第一型曲面积分即可计算。
转为重积分
$$ \iint_{S}\vec{F}\cdot \vec{n},dS=\iint_{D} (-P\cdot z_{x}-Q\cdot z_{y}+R),d\delta $$ 其中 $D$ 显然是曲面在平面 $xOy$ 的投影
记曲面具有隐函数型 $z=f(x,y)$
则取微分得：$-f_{x},dx-f_{y},dy+dz=0$
故单位法向量：$\vec{n}=\pm\frac{1}{\sqrt{ 1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2} }}\cdot(-f_{x},-f_{y},1)$
所以根据向量运算：$\iint {S}\vec{F}\cdot \vec{n},dS=\iint{S} \pm\frac{1}{\sqrt{ 1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2} }}(-P\cdot f_{x}-Q\cdot f_{y}+R),dS$
又因为：$dS=\sqrt{ 1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2} },d\delta$
所以最终得出：$\iint_{S}\vec{F}\cdot \vec{n},dS=\iint_{S} \pm(-P\cdot f_{x}-Q\cdot f_{y}+R),d\delta$
以上 $\pm$ 均规定为：当法向量向上($z>0$)时取正，向下时($z<0$)时取负
参数型
已知曲面 $S$ 由参数方程给出： $$ \left{ \begin{align} x & =x(u,v) \ \
y & =y(u,v) \ \
z & =z(u,v) \end{align} \right. , \ (u,v) \in D $$ 则：
$S$ 上任一点法向量の方向余弦： $$ \pm(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\pm \frac{1}{\sqrt{ EG-F^{2} }}(A,B,C) $$ 其中 $$ \left{ \begin{align} A & =\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} \ \
B & =\frac{\partial(x,z)}{\partial(u,v)} \ \
C & =\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \end{align} \right. $$
而原第二型曲面积分可化为： $$ \begin{align} & \iint_{S}P,dx,dy+Q,dx,dz+R,dx,dy \ = & \iint_{D}\left[\ P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\cdot A+Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\cdot B+R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\cdot C \ \right],du,dv \end{align} $$