高等数学

曲线积分

第一型曲线积分

第一型曲线积分通性

重点在于曲线微分 dsds 的转换： ds=dx12+dx22+⋯+dxn2 ds = \sqrt{ dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + \dots + dx_{n}^{2} }

特征

  • 无方向性
  • 保守性 (∮=0\oint = 0)

形式

∫Lf(x1,x2,…,xn)ds=∫Lf(x1,x2,…,xn)⋅d([dx1]2+[dx2]2+⋯+[dxn]2) \int_{L}f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})ds = \int_{L}f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}) \cdot d\left( \sqrt{ \left[ dx_{1} \right] ^{2}+\left[ dx_{2} \right] ^{2} + \dots + \left[ dx_{n} \right]^{2} } \right)

计算

隐函数型

∫Lf(x,y(x)),ds=∫αβf(x,y(x))⋅1+[y’(x)]2,dx \int_{L}f(x,y(x)),ds=\int_{\alpha}^{\beta} f(x,y(x))\cdot \sqrt{ 1+\left[ y’(x) \right]^{2} } , dx

曲线积分通性

与文首提到的通性联系记忆：

ds=dx2+dy2 =dx2+(y’(x)dx)2 =1+[y’(x)]2,dx \begin{align} ds & =\sqrt{ dx^{2}+dy^{2} } \ & =\sqrt{ dx^{2}+(y’(x)dx)^{2} } \ & =\sqrt{ 1+\left[y’(x)\right]^{2}},dx \end{align}

参数型

已知

$$ \left{ \begin{align} x & =x(t) \ y & =y(t) \end{align} \right. $$

则

∫Lf(x(t),y(t))ds=∫αβf(x(t),y(t))⋅[x’(t)]2+[y’(t)]2,dt \int_{L}f(x(t),y(t))ds=\int_{\alpha}^{\beta} f(x(t),y(t)) \cdot \sqrt{ \left[ x’(t) \right] ^{2}+\left[ y’(t) \right] ^{2} } , dt

第二型曲线积分

特征

  • 有向性
  • 不一定具有保守性 (∮≠0\oint\neq 0)

形式

∫AB⌢F⃗(x1,x2,…,xn),dr⃗=∫AB⌢F1(x1,x2,…,xn),dx1+F2(x1,x2,…,xn),dx2+⋯+Fn,(x1,x2,…,xn),dxn \int_{\overset{\frown}{AB}}\vec{F}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),d\vec{r}=\int_{\overset{\frown}{AB}} F_{1}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),dx_{1}+F_{2}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),dx_{2}+\dots+F_{n},(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),dx_{n}

计算

参数型

已知

$$ \left{ \begin{align} x_{1} & =x_{1}(t) \ x_{2} & =x_{2}(t) \ & \dots \ x_{n} & =x_{n}(t) \end{align} \right. $$

则

∫AB⌢F⃗,dr⃗=∫AB⌢F1⋅x1’(t),dt+…Fn⋅xn’(t),dt \int_{\overset{\frown}{AB}}\vec{F},d\vec{r}=\int_{\overset{\frown}{AB}}F_{1}\cdot x_{1}’(t),dt+\dots F_{n}\cdot x_{n}’(t),dt

仍然符合直觉上的微分运算，因此根据微分运算直觉记忆即可

保守性

前置知识：

格林公式 格林公式

第二性曲线积分与路径无关条件   ⟺  \iff ∮=0\oint = 0

  1. 格林公式法：∀(x,y)∈D\forall(x,y)\in D 都满足 ∂Q∂x=∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}
  2. 原函数法：∃F\exists F 满足 dF=P,dx+Q,dydF=P,dx+Q,dy
    • 凑原函数法
    • 微分方程法
    • 直接微分运算法
格林公式法的局限性

格林公式法判定保守性的条件是四个等价命题中最严格的： 🔗链接

  • 格林公式法只能用于单连通区域
  • 原函数法可以用于单连通区域和多连通区域

北大版高数教材有给出在多联通区域使用格林公式法判定保守性导致错误的案例： 在区域 D:0<δ≤x2+y2≤4D:0<\delta\leq x^{2}+y^{2}\leq 4 积分 ∮L+−(x+y)x2+y2,dx+x−yx2+y2,dy \oint_{L+} \frac{-(x+y)}{x^{2}+y^{2}},dx+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}},dy 满足 Qx=PyQ_{x} = P_{y}，但是 DD 中的任意圆周 C+C+ 有 ∮C+P,dx+Q,dy=2π≠0\oint_{C+}P,dx+Q,dy=2\pi\neq 0