应用

• 空间
• 曲线
• 环积分

已知

• 曲面 $S$
  • 正向约定 法向量 $\vec{n}$ 与边界 $L$ 方向成右手系
  • $S+L$ 有一阶连续偏导

结论

朴素形式

$$ \oint_{L+}P,dx+Q,dy+R,dz=\iint_{S+}\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right),\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right),\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x $$

朴素行列式形式

$$ \oint_{L+}P,dx+Q,dy+R,dz=\iint_{S+}\left| \begin{matrix} dy,dz& dx,dz& dx,dy \ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z} \ P& Q& R \end{matrix} \right| $$

旋度形式

由 朴素行列式形式 可以引出旋度 $\mathrm{rot}$

$$ \oint_{L+}\vec{F},d\vec{S} = \iint_{S+}\mathrm{rot},\vec{F}\cdot d\vec{S} $$

其中

$$ \begin{align} \mathrm{rot},\vec{F} & =\mathrm{rot},\left( P,Q,R \right) \ & = \left| \begin{matrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z} \ P& Q& R \end{matrix} \right| \end{align} $$ $$ \begin{align} d\vec{S} & =(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\cdot dS \ & =(dy,dz,dx,dz,dx,dy) \end{align} $$

旋度变式形式

$$ \oint_{L+}\vec{F},d\vec{S}=\left| \begin{matrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z} \ P& Q& R \end{matrix} \right| ,dS $$

证明

略