微分形式
aka 外微分形式
重要微分形式
在 $\mathbb{R}^{n}$ 域下
-
零阶微分形式：光滑函数
-
一阶微分形式 $$ \sum_{i=1}^{n} f_{i}(\dots),\mathrm{d}x_{i} $$
-
二阶微分形式 $$ \sum_{i,j=1}^{n} f_{ij}(\dots),\mathrm{d}x_{i} \land ,\mathrm{d}x_{j} $$
记号
记 $\Lambda_{m}(D)$ 是在 $D\in \mathbb{R}^{n}$ 的所有 $m$ 阶微分形式的集合
运算
线性运算
把微分形式看成多项式，每一项看作一阶线性空间的一维
- 数乘
- 加减
外积运算
- 对于 $m$ 阶的外微分形式 $\mathrm{d}x_{1}\land \mathrm{d}x_{2}\land\dots \land \mathrm{d}x_{m}$ 中的任意连续两项$$\mathrm{d}x_{i}\land \mathrm{d}x_{j}=-,\mathrm{d}x_{j}\land \mathrm{d}x_{i}$$
- $\mathrm{d}x_{i}\land \mathrm{d}x_{i}=0$
外微分运算
- 0 $\to$ 1 (全微分运算) $$\mathrm{d}F(x_{1},\dots,x_{n})=\sum_{i=1}^{n} \frac{ \partial F }{ \partial x_{1} } \mathrm{d}x_{i}$$
- 1 $\to$ 2 $$\mathrm{d}\left( \sum_{i=1}^{n} f_{i},\mathrm{d}x_{i} \right)=\sum_{i=1}^{n} \mathrm{d}f_{i}\land \mathrm{d}x_{i}$$
庞加莱定理
恰当微分
- 已知
- $\omega \in \Lambda_{m}(D)$
- $\exists ,\Omega$ s.t. $\mathrm{d}\Omega=\omega$
- 结论
- $\omega$ 是 恰当微分
闭的微分形式
- 已知
- $\omega \in\Lambda_{m}(D)$
- $\mathrm{d}\omega=0$
- 结论
- $\omega$ 是 闭的微分形式
庞加莱定理
恰当微分是闭的 aka $$ \mathrm{d}\mathrm{d}\Omega=0 $$
应用
一般形式の环积分公式
| 公式 | 一般形式 | 条件 |
|---|---|---|
| 格林公式 | $$\int_{S}\omega=\iint_{\Omega}\mathrm{d}\omega$$ | |
| 高斯公式 | $$\iint_{S}\omega=\iiint_{\Omega}\mathrm{d}\omega$$ |
|
| 斯托克斯公式 | $$\int_{S}\omega=\iint_{\Omega}\mathrm{d}\omega$$ | |
| 统一表述 | $$\int_{\partial \sum}\omega=\int_{\sum}\mathrm{d}\omega$$ | $\omega$ 在 $\sum \cap ,\partial \sum$ 上光滑 |
其中 $\partial \sum$ 是 $\sum$ 的边界
统一表述与牛顿莱布尼茨公式
牛顿莱布尼茨公式 $$\int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a)$$ 可以把 $(a,b)$ 看作 $\sum$，则其边界为 $\partial \sum=\left{ a,b \right}$ 所以遵守统一表述 $\int_{\partial \sum}\omega=\int_{\sum}\mathrm{d}\omega$
外微分意义下的场论
在 $\mathbb{R}^{3}$ 下
| 度 | 外微分阶数 | 意义 |
|---|---|---|
| 梯度 $\mathrm{grad}$ | 0 $\to$ 1 | 零阶微分形式 的 外微分运算 |
| 旋度 $\mathrm{rot}$ | 1 $\to$ 2 | 一阶微分形式 的 外微分运算 |
| 散度 $\mathrm{div}$ | 2 $\to$ 3 | 二阶微分形式 的 外微分运算 |
场论中的庞加莱定理
$$ \mathrm{d}\mathrm{d}\Omega=0 $$ $\implies$ $$ \mathrm{grad},\mathrm{rot},f=0 $$ $$ \mathrm{rot},\mathrm{div},f=0 $$
Hodge对偶
自行学习，我不学。