场

• 数量场 $f:(x,y,z)\to \mathrm{val}$
• 向量场 $f:(x,y,z)\to(\alpha,\beta,\gamma)$

关键量对比

($\mathrm{rot}$ 实现显示有误，不是双竖线)

微分场论

等值面

$$ M_{C} = \left{ (x,y,z),|,f(x,y,z)=C \right} $$

梯度

已知数量场 $$u=f(x,y,z)$$ 则其梯度为一向量场如下 $$ \nabla f=\mathrm{grad},f=\left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) $$

几何意义

1. 梯度是当前点等值面の法向量
2. 梯度指向当前点最大方向导数の方向

运算法则

1. 符合 类导数 四则运算法则
   1. $\nabla C=0$
   2. $\nabla(u\pm v)=\nabla u\pm \nabla v$
   3. $\nabla(u\cdot v)=u\nabla v+v\nabla u$
   4. $\nabla \frac{u}{v}=\frac{1}{v^{2}}\left( v\nabla u-u\nabla v \right)$
2. 符合 类导数 链式法则
   1. $\nabla\phi(u)=\phi’(u)\nabla u$
   2. $\nabla \phi(u,v)=\phi’{u}\nabla u+\phi’{v}\nabla v$
   3. $\dots$

积分场论

通量

向量场 $\vec{F}$ 在曲面 $S$ 上的第二型曲面积分 $$ \iint_{S} \vec{F}\cdot \vec{n},dS $$ aka $$ \iint_{S}\vec{F},d\vec{S} $$

物理意义

• 通量 $=$ 流出量 $-$ 流入量

散度

已知

• 空间 $V$
  • $m(V)$ 表示 $V$ 的体积
• 任一点 $M_{0} \in V$
• 向量场 $$\vec{u}=\vec{F}(x,y,z)$$ 则其散度为 $$ \nabla\cdot \vec{F}= \mathrm{div},\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$

定义概念

由积分中值定理，散度在特定点の定义式为 $$ \mathrm{div},\vec{F}|{M{0}}=\lim_{ V \to M_{0} } \frac{\iiint \vec{F},d\vec{S}}{m(V)} $$ 可以理解为，散度可以看作点附近单位体积内的的通量。

由此引入 点&散度 の相关概念

• 源：点の散度 $>0$
• 漏：点の散度 $<0$
• 非源非漏：点の散度 $=0$
• 无源场/管形场：场内 $\mathrm{div},\vec{F}(M)\equiv 0$

运算法则

1. 符合 数乘&加减 の 线性运算
   1. $\mathrm{div},(\lambda\vec{F})=\lambda,\mathrm{div},\vec{F}$
   2. $\mathrm{div}\left( \vec{F_{1}} \pm \vec{F_{2}} \right)=\mathrm{div},\vec{F_{1}}+\mathrm{div},\vec{F_{2}}$
2. $\mathrm{div}\left( \phi,\vec{F} \right)=\phi ,\mathrm{div}, \vec{F}+\vec{F}\cdot \mathrm{grad},\phi$，其中 $\phi$ 是数量场
3. $$\mathrm{div},\mathrm{grad},\phi=\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \phi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \phi}{\partial z^{2}}$$ aka $\nabla\cdot,\nabla, \phi=\Delta$ 其中 $\Delta$ 是拉普拉斯算子，$$\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$$

环量

已知向量场 $\vec{F}=P,\vec{i}+Q,\vec{j}+R,\vec{k}$ 则其环量为 $$ \begin{align} I & =\oint_{L}P,\mathrm{d}x+Q,\mathrm{d}y+R,\mathrm{d}z \ & =\oint_{L}\vec{F}\cdot ,\mathrm{d}\vec{r} \ & =\oint_{L}\vec{F}\cdot \left( \mathrm{d}x,,\mathrm{d}y,,\mathrm{d}z \right) \end{align} $$

环量面密度

aka 方向旋量

$$ \frac{\lim_{ \lambda(S) \to 0 } \oint_{L}\vec{F},\mathrm{d}\vec{r}}{m(S)} $$ 其中

• $\lambda(S)$ 为 $S$ 的直径
• $m(S)$ 为 $S$ 的面积

旋度

$$ \mathrm{rot},\vec{F}=\left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ \frac{ \partial }{ \partial x } & \frac{ \partial }{ \partial y } & \frac{ \partial }{ \partial z } \ P & Q & R \end{matrix} \right| $$

运算法则

已知 $F$, $G$ 为向量场，$u$ 为数量场，足够阶可微，$C$ 为常数

1. 符合 数乘&加减 の 线性运算
   1. $\mathrm{rot}\left( C\vec{F} \right)=C\cdot \mathrm{rot},\vec{F}$
   2. $\mathrm{rot}\left( \vec{F}\pm \vec{G} \right)=\mathrm{rot},\vec{F}\pm \mathrm{rot},\vec{G}$
2. 数向内旋$$\mathrm{rot}\left( u\vec{F} \right)=u,\mathrm{rot},\vec{F}+\mathrm{grad},u \times \vec{F} $$
3. 向向外散$$\mathrm{div}\left( \vec{F}\times \vec{G} \right) = \vec{G}\cdot \mathrm{rot},\vec{F}-\vec{F}\cdot \mathrm{rot},\vec{G}$$
4. 数量场归零$$\mathrm{rot}\left( \mathrm{grad},u \right)=0 $$
5. 向量场归零$$\mathrm{div}\left( \mathrm{rot},\vec{F} \right)=0 $$

保守场

以下三个命题等价

1. $\vec{F}$ 在 $D$ 内是保守场
2. $\vec{F}$ 在 $D$ 内任意闭曲线环量为零，aka. $$\oint_{\Gamma}\vec{F}\cdot ,\mathrm{d}\vec{r}=0$$
3. $\vec{F}$ 在 $D$ 内是无旋场，aka. $$\mathrm{rot},\vec{F}=0$$