单个方程
已知
- $F(x,y)\equiv0$
则 $$ \frac{\partial{y}}{\partial{x}} = - \frac{F’_x}{F’_y} $$ 分数有意义时存在隐函数关系。
dz 与 df 的区别
- $\frac{\partial{z}}{\partial{x}}$ $\Rightarrow$ 要考虑链式关系/隐函数关系的，简写成 $z_x$
- $\frac{\partial{f}}{\partial{x}}$ $\Rightarrow$ 把各变量看做无关变量，简写成 $f’_x$ 或者 $f_x$
高阶偏导
高次偏导应该把前项看成函数而非变量。 例如 $\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)$, 其中的 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 就是一个函数而非变量，进行二阶偏导时把 $z$ 外的其他变量看作无关变量。
方程组
已知 $$ \left{ \begin{align} F(x,y,u,v)\equiv0 \ G(x,y,u,v)\equiv0 \end{align} \right. $$ 则 $u$, $v$ 可以视作 $x$, $y$ 的函数的条件是 $$ \frac{D(F,G)}{D(u,v)}=0 $$