$$ \iint_{\Omega}fg_{x},\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{\partial\Omega}fg,\mathrm{d}y-\iint_{\Omega}f_{x}g,\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ $$ \iint_{\Omega}fg_{y},\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{\partial\Omega}fg,\mathrm{d}x - \iint_{\Omega}f_{y}g,\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$
证明
$$\int_{\partial \Omega}fg,\mathrm{d}y \xlongequal{Green.} \iint_{\Omega}(fg){x},\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint{\Omega}f_{x}y,\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint_{\Omega}fg_{x},\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$