约定
$$ \mathrm{d}^{n}f(x,y)=\left(\Delta x \frac{ \partial }{ \partial x } +\Delta y\frac{ \partial }{ \partial y } \right)^{n}f(x,y) $$
通式
$$ f(x,y)=\lim_{ n \to \infty } \sum_{i=0}^{n} \frac{ \mathrm{d}^{n}f(x_{0},y_{0})}{n!} $$
皮亚诺余项
$$ f(x,y)=\sum_{i=0}^{n} \frac{ \mathrm{d}^{n}f(x_{0},y_{0})}{n!}+o(\rho^{n}) $$
拉格朗日余项
$$ f(x,y)=\sum_{i=0}^{n} \frac{ \mathrm{d}^{n}f(x_{0},y_{0})}{n!}+\frac{ \mathrm{d}^{n+1}f(x_{0}+\theta\Delta x,y_{0}+\theta\Delta y)}{(n+1)!} $$
特例：拉格朗日中值定理
$$f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=\frac{ \partial f }{ \partial x } (x_{0}+\theta\Delta x,y_{0}+\theta\Delta y)\Delta x+\frac{ \partial f }{ \partial y }(x_{0}+\theta\Delta x,y_{0}+\theta\Delta y)\Delta y$$
证明
核心构造函数 $h(t)=f(x_{0}+t\Delta x,y_{0}+t\Delta y)$
- 在 $t=1$ 对 $0$ 泰勒展开
- 链式法则把所有 $t$ 用 $x,y$ 表示