余子式

定义

$$ \det A=\sum_{i=1}^{n} a_{1,i}C_{1,i} $$ 其中

  • 符号矩阵 $$P=\begin{bmatrix}+ & - & + & - & \dots \ - & + & - & + & \dots \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\end{bmatrix}$$
  • 余子式 $M_{m,n}$ := 矩阵 $A$ 去掉行 $m$ 和列 $n$ 后剩余的矩阵 $$M_{m,n}=\begin{bmatrix}\ddots & & & \ & a_{m-1,n-1} & a_{m-1,n+1} & \ & a_{m+1,n-1} & a_{m+1,n+1} & \ & & & \ddots \end{bmatrix}$$
  • 代数余子式 $C_{m,n}=p_{m,n}\cdot M_{m,n}$

性质

  1. $$AC^{T}=\det A \cdot I$$
  2. $$A^{-1}=\frac{C^{T}}{\det A}$$