结构

• 矩阵大观 $A^{-1}$ $A^{T}$
• 行列式大观 $\det A$
• 向量空间大观 $\mathrm{rank}A$ $\mathrm{dim}V$
• 特征值大观 $\lambda$ $PDP^{-1}$
• 正交大观
• 对称大观 $PDP^{T}$
• 仿射大观

概念

• 可逆性 IMT
• 秩
• 可对角化
• 可正交对角化
• 仿射性质

计算

• 求逆
• Ax等于b的完整解
• 求行列式
• 求特征值&特征向量
• 求对角化
• 求正交对角化
• 求QR分解
• 求LU分解
• 求最佳逼近 最小二乘法
• 奇异值分解 SVD

考前必背

术语表

1. 矩阵
   1. 乘法 左横右竖矩阵遍历，左竖右横对角相加
   2. 线性映射
      1. 单射 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank}A=n$
      2. 满射 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank}A=m$
   3. 逆
      1. 可逆
      2. 求逆
   4. 求LU分解
   5. 全 1 矩阵
      1. $\mathrm{rank}E=1$
      2. $\mathrm{eig}E=n,0,0,\dots$
      3. $E^{k}=n^{k-1}E$
      4. $E^{0}=I$
2. 行列式
   1. $\lvert A\cdot B \rvert=\lvert A \rvert\cdot \lvert B \rvert$
   2. $\lvert A^{k} \rvert=\lvert A \rvert^{k}$
   3. $\lvert kA \rvert=k^{n}\lvert A \rvert$
   4. $A^{*}A=\lvert A \rvert$
3. 向量空间
   1. 子空间判定 零+数乘封闭+加封闭
   2. 行操作与子空间
   3. 子空间证明
      1. $V_{1}\subseteq V_{2} \land \mathrm{dim}V_{1}=\mathrm{dim}V_{2}\Rightarrow V_{1}=V_{2}$
   4. 四个子空间 维度
   5. 坐标系统
      1. $\boldsymbol{x}=P_{B}[\boldsymbol{x}]_{B}$
      2. $P_{C\leftarrow B}=P_{C}^{-1}P_{B}$
      3. $T=T\cdot I=[Te_{k} \dots]$
   6. 秩
      1. $\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B-n\leq \mathrm{rank}(AB)\leq \mathrm{min}{\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B}$
         1. $\mathrm{Col}AB\subseteq \mathrm{Col}A$
      2. $\mathrm{rank}(A+B)\leq \mathrm{rank}A+\mathrm{rankB}$
      3. $\mathrm{rank}I=n$
      4. 秩零定理
4. 特征值
   1. 特征值性质
      1. $A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$
      2. $\mathrm{eig}(f(A))=f(\mathrm{eig}A)$
      3. $\mathrm{eig}(f(A,B))\neq f(\mathrm{eig}A,\mathrm{eig}B)$
      4. $AB=BA \Rightarrow \mathrm{eig}(f(A,B))= f(\mathrm{eig}A,\mathrm{eig}B)$
         1. $\mathrm{eig}f(A,I)=f(\mathrm{eig}A,1)$
         2. $\mathrm{eig}f(A,E)=f(\mathrm{eig}A,n)$
         3. 可交换 $\Leftrightarrow$ 特征向量相同 vs. 相似 $\Leftrightarrow$ 特征值相同
      5. $\prod \mathrm{eig}A=\det A$
      6. $\sum \mathrm{eig}A=\mathrm{tr}A$
      7. $\mathrm{eig}E=n(方阵阶数),0,0,\dots$
      8. $E^{0}=I$
   2. 相似矩阵 矩阵相似 $\Rightarrow$ 特征值相同
   3. 可对角化
      1. $n$ 个不同特征值 $\Rightarrow$ $n$ 个线性独立特征向量 $\Leftrightarrow$ 可对角化
   4. 特征空间
      1. $\mathrm{Eig}_{\lambda}A=\mathrm{Nul}(A-\lambda I)$
5. 正交
   1. 正交向量组 + 正交矩阵 定义
   2. 正交矩阵性质
      1. $Q^{T}Q=I$
      2. $\lvert Q \rvert=\pm 1$
   3. 求QR分解
   4. 最小二乘法 $A^{T}A\boldsymbol{x}=A^{T}\boldsymbol{b}$
   5. 投影差值唯一性 利用 $W\cap W^{\perp}={\boldsymbol{0}}$
6. 对称
   1. 对称矩阵性质
      1. 特征向量正交
      2. 几何重数 = 代数重数 (特征值 0 个数判断 $\mathrm{dim},\mathrm{Nul}A$)
   2. 正定矩阵判定
   3. 可正交对角化 同特征值 Gram-Smidt 保证正交！
   4. 奇异值分解 SVD $U\sum V^{T}$
      1. $V=\mathrm{eig}A^{T}A$
      2. $\sum=$ 倒序 $\sqrt{ \lambda_{i} }$
      3. $U=[\frac{1}{\sqrt{ \lambda_{i} }}A\boldsymbol{v}_{i}]$ + 求QR分解
   5. 二次型标准化
7. 仿射
   1. 仿射相关判定
   2. 仿射闭包性质
      1. $S\subseteq \mathrm{aff}S$
      2. 保留子集性质
      3. 交子