向量投影

已知

• 投影向量 $\vec{b}$
• 被投影向量 $\vec{a}$

则

• $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影 $$\vec{p}=\hat{x}\cdot\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\vec{a}\cdot \vec{b}}\cdot \vec{a}$$

投影矩阵

$$ P=\frac{\vec{a}\cdot\vec{a}^{T}}{\vec{a}^{T}\cdot \vec{a}} $$

则 $\vec{p}=P\vec{b}$

子空间投影

投影矩阵

$$ P=A(A^{T}A)^{-1}A^{T} $$ 其中 $A^{T}A$ 可逆当且仅当 $A$ 列满秩