记 $\mathrm{span}(\boldsymbol{x}{1},\boldsymbol{x}{2},\dots,\boldsymbol{x}{n})=\left{ \sum{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i} \right}$

记 $A=\begin{bmatrix}r_{1}\r_{2}\\vdots\r_{m}\end{bmatrix}$

则对于零空间 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 有 $$r_{i}\cdot\boldsymbol{x}=0$$ 所以 $\forall \boldsymbol{r}\in C(A^{T})=\mathrm{span}\left{ \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i} \right}$，有 $$\boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{x}=\left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}\boldsymbol{r}{i} \right)\cdot \boldsymbol{x}=\sum{i=1}^{n} \lambda_{i}\boldsymbol{r}_{i}\cdot \boldsymbol{x}=0$$ 即 $\forall \boldsymbol{r}\in C(A^{T})$，满足 $\boldsymbol{r}\in N(A)$