已知

• 总体 $X \sim N(\mu,\sigma^{2})$ 或只要存在均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^{2}$
• 样本 $X_{1},X_{2},\dots,X_{n}$ 取自总体 $X$

则

1. $\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$
2. $\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(n-1)$
   1. $\frac{\sum(X-\bar{X})}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(n-1)$
   2. $\frac{\sum(X-\mu)}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(n-1)$
3. $\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{ n }}\sim t(n-1)$
   1. $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{ n }}\sim N(0,1)$
   2. $\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(n-1)$
4. $\bar{X}$ 与 $S^{2}$ 相互独立
5. $D(X_{{i}})=\sigma^{2}$ 而 $S^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n-1}$