| 分布 | $\chi^{2}$ 分布 | $t$ 分布 | $F$ 分布 |
|---|---|---|---|
| 记号 | $$\sim \chi^{2}(n)$$ | $$\sim t(n)$$ | $$\sim F(n_{1},n_{2})$$ |
| 统计量定义 | $$X_{i}\sim N(0,1)$$ | $$X\sim N(0,1)$$$$Y\sim \chi^{2}(n)$$ | $$U\sim \chi^{2}(n_{1})$$$$V\sim \chi^{2}(n_{2})$$ |
| 统计量 | $$\chi^{2}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$$ | $$t=\frac{X}{\sqrt{Y/n }}$$ | $$F=\frac{U/n_{1}}{V/n_{2}}$$ |
| 概率密度 | $$f(y)=\left{\begin{align}&\frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}y^{n/2-1}e^{y/2} & y>0 \ & 0 & \mathrm{else}\end{align}\right.$$ |
$$h(t)=\frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{ \pi n }\Gamma(n/2)}(1+\frac{t^{2}}{n})^{-(n+1)/2}$$ | $$\psi(y)=\left{\begin{align}& \frac{\Gamma
(n_{1}+n_{2})/2
^{n_{1}/2}y^{^{(n_{1}/2-1)}}}{\Gamma(n_{1}/2)\Gamma(n_{2}/2)[1+(n_{1}y/n_{2})]^{(n_{1}+n_{2})/2}} & y>0 \ & 0 & \mathrm{else}\end{align}\right.$$ |
| 期望 | $$n$$ | $$0$$ | |
| 方差 | $$2n$$ | $$\frac{n}{n-2}$$ |
$\chi^{2}$ 分布の性质
- $\chi^{2}(n)\sim\Gamma(\frac{n}{2},2)$
- 可加性 已知
- $X\sim \chi^{2}(n_{1})$
- $Y\sim \chi^{2}(n_{2})$
则 $$X+Y\sim \chi^{2}(n_{1}+n_{2})$$
t 分布の近似
当 $n>30$ 时，近似为正态分布
因此 t 分布的概率密度还是偶函数
F 分布の性质
3. 若 $X\sim F(n_{1},n_{2})$ 则 $\frac{1}{X}\sim F(n_{2},n_{1})$ 4. 若 $X\sim t(n)$ 则 $X^{2}\sim F(1,n)$ 5. 上 $\alpha$ 分位数 $F_{\alpha}(n_{1},n_{2})=\displaystyle\frac{1}{F_{1-\alpha}(n_{2},n_{1})}$