基本概念
概率密度 $f(x,y)$
分布函数 $F(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) , \mathrm{d}x , \mathrm{d}y$
- 如果 $F(x,y)$ 连续，则 $$\frac{ \partial^{2} F(x,y) }{ \partial x , \partial y } = f(x,y) $$
边缘分布
- 离散型 $$P\left{ X < x_{i} \right} = \sum_{j=1}^{\infty} p_{i,j} $$
- 连续型 $$F_X(x)=P\left{ X < x \right}=P\left{ X < x，Y< \infty \right}=F(x,\infty)$$
条件分布
- 离散型 $$P\left{ X=x_i|Y=y_j \right}=\frac{P\left{ X=x_i,Y=y_j \right}}{P\left{ Y=y_j \right}}$$
- 连续型
- 概率密度 $$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$
- 分布函数 (理解为 $y=y_j$ 时关于 $x$ 的分布函数) $$F_{X|Y}(x|y)=P\left{ X\le x | Y=y \right}=\int_{-\infty}^{x} \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} , dx $$
独立变量
随机变量 $X,Y$ 相互独立 $<=>$ $$ F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) $$ aka $$ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) $$
联合分布
已知随机变量 $X,Y$
和差联合
联合随机变量 $Z=X+Y$ 满足
$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,z-x) , dx =\int_{-\infty}^{\infty} f(z-y,y) , dy
$$
如果 $X,Y$ 相互独立
$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) , dx=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(z-y)f_Y(y) , dy
$$
积商联合
联合随机变量 $Z=XY$ 和 $Z=\frac{Y}{X}$ 满足 $$ f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \left|\frac{1}{x}\right|f(x,\frac{z}{x}) , dx $$ $$ f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \left| x \right| f(x,xz) , \mathrm{d}x $$ 若 $X,Y$ 相互独立 $$ f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{1}{x} \right| f_{X}(x) f_{Y}(\frac{z}{x}) , \mathrm{d}x $$ $$ f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \left| x \right| f_{X}(x) f_{Y}(xz) , \mathrm{d}x $$
最值联合
联合随机变量 $Z=\mathrm{max}\left{ X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} \right}$ 满足 $$ F_{max}(z)=\prod_{i=1}^{n} F_{X_{i}}(z) $$ 联合随机变量 $Z=\mathrm{min}\left{ X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} \right}$ 满足 $$ F_{min}(z) = 1 - \prod_{i=1}^{n} \left[ 1 - F_{X_{i}}(z) \right] $$
如果联合随机变量 $Z=\mathrm{min/max}\left{ X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} \right}$ 中 $\forall X_{i}$ 有相同的分布函数 $F(x)$ 和概率密度 $f(x)$ 时 $$F_{max}(x)=[F(x)]^{n}$$ $$f_{max}(x)=n[F(x)]^{n-1}f(x)$$ $$F_{min}(x)=1-[1-F(x)]^{n}$$ $$f_{min}(x)=n[1-F(x)]^{n-1}f(x)$$
函数联合
联合随机变量 $Z=f_{Z}(X, Y)$ 满足
$$
f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left||J\right||} f(x,y(x,z)), \mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left|\frac{ \partial z }{ \partial y } \right|}f(x,y(x,z)) , \mathrm{d}x
$$
$f(x)$ 在 $x$ の不同定义域上可能有不同的表达式
所以往往 $\int_{-\infty}^{\infty}$ 最后都会化为 $f(x)\neq 0$ 所在的 $\iint_{D} = \sum_{k=1}^{N}\int_{x_{k,1}(z)}^{x_{k,2}(z)}$
而新系下の区域 $x_{k,(1,2)}(z)$ 根据 $y(x,z)\in[a,b]$ 解得 例如 $Z=XY$ 中 $f_1(x,y)$ 定义在 $x>0, y=\frac{z}{x}>0$ 得到对于每个 $z$ 都有 $0<x<z$，于是 $f_{1}$ 在 $x-z$ 系下的定义区域是在 $0<x<z$ 🔗参考 线性规划
曲线积分の微分量是 $\mathrm{d}s$ /$\mathrm{d}\vec{s}$
而联合函数の概率密度是由分布函数推导的，不能等效为曲线积分